پیشگفتار مؤلف

«هر چیزی را باید تا حد امکان ساده کرد، ولی نه بیش از این حد.»

                      آلبرت اینشتین

ویراست هفتم کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال، مانند ویراستهای پیشین، هم برای دانشجویانی که رشتهٔ اصلی آنها ریاضی است و هم برای دانشجویان مهندسی، علوم فیزیکی و اجتماعی و رشته‌های غیر فنی تدوین شده است. در نحوهٔ عرضهٔ مطالب نیز، مانند قبل، سطح معلومات و تجربهٔ فرد مبتدی مدنظر بوده است. توضیحات مرحله‌به‌مرحله، مثالهای حل شدهٔ فراوان و تنوع تمرینها در این ویراست هم از ویژگیهای بارز متن است.

در فاصلهٔ انتشار دو ویراست آخر این کتاب دو تحول عمده در آموزش حسابان رخ داده است که یکی ورود فناوری (ماشین حساب رسّام و رایانه) به این عرصه، و دیگری جنبش اصلاح حسابان ] در امریکا[ است. در این ویراست، من با رعایت اصول زیر با این تحولات همراهی کرده‌ام:

۱. از محصولات فناوری (رایانه و ماشین‌حساب) باید برای اعتلای آموزش و یادگیری حسابان استفاده کرد ولی نه اینکه فناوری جانشین ریاضیات شود و یا از اهمیت مباحث نظری بکاهد.

۲. تعریفها و قضیه‌ها باید به طور دقیق و رسمی بیان شوند نه شهودی و نه غیررسمی.

۳. دانشجویان باید آگاه باشند که اثبات قضیه‌ها لازم است.

۴. اثبات باید با زمینه‌چینی کافی و توضیح دقیق همراه باشد به‌طوری که برای هر کسی که مطالب بخشهای پیشین کتاب را در حد متوسط فرا گرفته است قابل فهم باشد.

۵. وقتی قضیه‌ای بدون اثبات بیان می‌شود، بحث باید با شکل و مثال همراه باشدٰ؛ در چنین مواردی باید تأکید شود که آنچه ارائه می‌شود نمونه و مصداقی از حکم قضیه است نه اثبات آن.

۶. به مدلسازی ریاضی کاربردهای دنیای واقعی باید توجه خاصی مبذول شود.

۷. به مسائل کلامی (غیرفرمولی) و نوشتن نتیجه به‌صورت کلامی توجه شود.

چهارده فصل این کتاب را می‌توان به دو قسمت تفکیک کرد: فصلهای ۱-۹، توابع یک متغیره به انضمام سریهای نامتناهی، و فصلهای ۱۰-۱۴، بردارها و توابع با بیش از یک متغیر. در همهٔ تغییرات و اصلاحات، موازنهٔ بین رویکرد دقیق و دیدگاه شهودی را حفظ کرده‌ام.

برای دستیابی به هدفهایم تدابیر جدیدی در این ویراست به‌کار گرفته‌ام:

ماشین‌حساب رسّام

در این ویراست، در سراسر متن از ماشین‌حساب رسّام نه فقط به‌عنوان یک ابزار قدرتمند برای یادگیری بلکه همچنین به‌عنوان یک ابزار ضروری در حل مسأله استفاده می‌شود ] به «ماشین حساب رسّام و جایگزینهای آن» در صفحهٔ هفده نگاه کنید.[ مؤلف براساس تجزیهٔ خود این ماشین حساب را به سه طریق زیر برای روشن شدن بحث و حل مسأله به‌کار گرفته است:

۱. عمل کردن به روش تحلیلی (با قلم و کاغذ) و سپس تأیید نتیجه به روش عددی و ترسیمی (با ماشین‌حساب رسّام)

۲. عمل کردن به‌روش عددی و ترسیمی و سپس اثبات نتیجه به‌روش تحلیلی.

۳. عمل کردن به‌روش عددی و ترسیمی در مواردی که استفاده از روشهای دیگر غیرعملی یا غیرممکن است.

مدلسازی ریاضی و مسأله‌های کلامی

ساختن مدلهای ریاضی برای وضعیتهای عملی که به‌صورت مسألهٔ کلامی یا توصیفی (غیرفرمولی) بیان می‌شوند در زمینه‌های بسیار متنوعی چون فیزیک، شیمی، مهندسی، کسب‌وکار، اقتصاد، روانشناسی، جامعه‌شناسی، زیست‌شناسی، و پزشکی لازم می‌آید. تابعها به‌عنوان مدلهای ریاضی نخست در بخش ۱ـ۳ معرفی می‌شوند و سپس در بقیهٔ بحث حضور چشمگیری دارند. در بخش ۱ـ۳ پیشنهادهایی برای استنتاج مرحله‌به‌مرحلهٔ تابع به‌عنوان مدل ریاضی آمده است.

جواب کلامی

در مثالهایی که به‌صورت مسأله‌ٔ کلامی (غیرفرمولی) بیان شده‌اند، برای تکمیل حل مسأله، نتیجه‌ای آمده است که پرسشهای مسأله را پاسخ می‌گوید. دانشجو هم باید در تمرینهای کلامی نتیجهٔ مشابهی مرکب از یک یا چند جمله بنویسد. در پایان تقریباً هر مجموعه از تمرینها، تمرینی از نوع کلامی آمده است که ممکن است حاوی پرسشی در این‌باره باشد که یک فرایند مشخص چرا و چگونه به‌کار می‌آید، یا از دانشجو بخواهد که فرایند خاصی را توضیح دهد یا توجیه کند.

تمرینها

با تجدید نظر در تمرینهایِ ویراستهای قبلی و درجه‌بندی آنها برحسب میزان دشواری، اینک طیف گسترده‌ای از انواع مسأله‌ها، از محاسباتی تا کاربردی و از نظری تا ماشین محاسبه‌ای و کلامی، فراهم آمده است. تمرینها در انتهای هر بخش و در مجموعهٔ تمرینهای گوناگونِ انتهای هر فصل آمده‌‌اند.

مثالها و نمونه‌ها

مثالها که به‌دقت انتخاب شده‌اند تا دانشجو را برای حل تمرینها آماده سازند، الگوی حل تمرینها را به‌دست می‌دهند. هر یک از نمونه‌ها، مفهوم، تعریف، یا قضیهٔ خاصی را روشن می‌سازد و در واقع، مصداقی از ایدهٔ عرضه شده است.

تدابیر آموزشی

هر فصل با مقدمه‌ای با عنوان «در این فصل می‌خوانید» آغاز می‌شود. در انتهای هر فصل، فهرستی از پرسشها و مسأله‌ها برای مرور مطالب فصل می‌آید. این دو ویژگی متن، مرور کلی درس را برای دانشجویی که می‌خواهد خود را برای امتحان یا آزمونی آماده کند آسان می‌سازد.

فصل‌بندی کتاب

فصل ۱ تابع، حد و پیوستگی

این سه مبحث در مرکزِ نخستین درس حسابان قرار دارند. همهٔ قضیه‌های حدی در این فصل بیان می‌شوند؛ اثبات بعضی از آنها در متن عرضه می‌شود و رئوس اثبات بعضی دیگر در تمرینها می‌آید. بخش۱ـ۳ بخش تازه‌ای در این ویراست دربارهٔ استنتاج تابع به‌عنوان مدل ریاضی است که بعداً در کاربردها مورد استفاده قرار می‌گیرد. این مدلها اولین چشم‌انداز از کاربرد حسابان در وضعیتهای دنیای واقعی را در برابر دانشجو قرار می‌دهند. بخش ۱ـ۴ نیز جدید است و در آن از ماشین حساب رسّام برای معرفی مفهوم حد تابع استفاده می‌شود.

فصل ۲ مشتق و مشتق‌گیری

در بخش۲ـ۱ خط مماس بر نمودار تابع پیش از ارائهٔ مفهوم مشتق تعریف می‌شود تا تعبیر هندسی مشتق پیشاپیش نشان داده شود. کاربردهای فیزیکی مشتق در حرکت راستخط پس از اثبات قضایای مربوط به مشتق‌گیری مطرح می‌شوند تا از این قضایا بتوان در آن کاربردها استفاده کرد. مشتقهای شش تابع مثلثاتی در بخش۲ـ۷ می‌آیند و سپس به‌عنوان مثالهایی برای بیان اولیهٔ قاعدهٔ زنجیری در بخش بعد به‌کار می‌روند. مشتق عددی، که مبحث جدیدی در این ویراست است و در بخش۲ـ۳ معرفی می‌شود، برای تقریب زدن مشتق و رسم نمودار به‌وسیلهٔ ماشین‌حساب به‌کار می‌رود. در بخش ۲ـ۴، حرکت ذره روی یک خط راست با ماشین‌حساب شبیه‌سازی می‌شود.

فصل ۳ رفتار تابع و نمودار آن، مقدارهای فرینهٔ تابع، و تقریب

کاربردهای سنتی مشتق در مسائل ماکسیمم و مینیمم و کشیدن خم در این فصل مطرح می‌شوند. بحث حد در بینهایت و کاربردهای آن در به‌دست آوردن مجانبهای افقی به این فصل انتقال یافته است و در اینجا برای کشیدن نمودارها از این حدها استفاده می‌شود. ماشین حساب رسّام، هم برای تأیید نتایجی که از راه تحلیلی به‌دست آمده‌اند و هم برای حدس زدن ویژگیهایی که درستی آنها بعداً از راه تحلیلی ثابت می‌شود، بسیار به‌کار می‌رود. یک ویژگی جدید این ویراست، وجود تمرینهایی است که در آنها از دانشجو خواسته می‌شود نمودار تابع را از روی نمودار مشتق آن، و به‌عکس، بکشد. تقریب به‌وسیلهٔ خط مماس همراه با روش نیوتن و نیز دیفرانسیل در بخش آخر این فصل مطرح می‌شود.

فصل ۴ انتگرال معین و انتگرال‌گیری

دو بخش اول به پادمشتق‌گیری اختصاص دارد. من اصطلاح «پادمشتق‌گیری» را به‌جای «انتگرال‌گیری نامعین» به‌کار برده‌ام ولی نماد متعارف را حفظ کرده‌ام. از این نماد چنین برمی‌آید که باید رابطه‌ای بین انتگرال معین و پادمشتق وجود داشته باشد. ولی اگر نحوهٔ تشریح مطلب چنان باشد که دیدگاه نظری صحیحی دربارهٔ انتگرال معین به‌عنوان حد مجموعها به خواننده القا شود، من عیبی در آن نمی‌بینم. این نوع حد قبل از آنکه در تعریف انتگرال معین به‌کار رود برای تعریف مساحت یک ناحیهٔ مسطح به‌کار می‌رود. قابلیت ماشین حساب رسّام در تقریب‌زدن مقدار انتگرال معین پیش از اثبات دومین قضیهٔ بنیادی حسابان مطرح می‌شود که این قضیه در محاسبهٔ مقادیر از راه تحلیلی به‌کار می‌رود. این قابلیت به ما امکان می‌دهد ویژگی‌های انتگرال معین را روی صفحهٔ ماشین حساب نمایش دهیم. بخش ۴ـ۳، دربارهٔ معادله‌های دیفرانسیل تفکیک‌پذیر، شامل کاربردهایی در حرکت راستخط است که در این مورد هم حرکت با ماشین حساب رسّام شبیه‌سازی می‌شود. سایر کاربردهای مطرح شده در این فصل شامل بحث کاملی دربارهٔ مساحت ناحیهٔ مسطح و نیز حجم جسمهاست که، نسبت به ویراست قبلی، زودتر مطرح می‌شود. بخش ۴ـ۹، با محاسبهٔ حجم از طریق برش‌زنی آغاز می‌شود و سپس تعیین حجم جسمهای دورانی به‌وسیلهٔ قرص و واشر، به‌عنوان حالات خاصی از تعیین حجم با برش‌زنی، مورد بحث قرار می‌گیرد. تعیین حجم اجسام دورانی به‌وسیلهٔ پوستهٔ استوانه‌ای، موضوع بخش ۴ـ۱۰ است.

فصل ۵ تابعهای لگاریتمی، نمایی، مثلثاتی وارون، و هیپربولیک

مفهوم تابع وارون در بخش اول مطرح می‌شود و پنج بخش بعد به توابع لگاریتمی و نمایی اختصاص دارد. نخست تابع لگاریتمی طبیعی تعریف می‌شود و آنگاه تابع‌نمایی طبیعی به‌عنوان وارون آن تعریف می‌گردد. این روش به ما امکان می‌دهد که معنای دقیقی به نمای گنگِ‌ یک عدد مثبت بدهیم. سپس تابع نمایی در پایهٔ a، که a مثبت است، تعریف می‌شود؛ تابع لگاریتمی در پایهٔ a وارون این تابع است. از جمله کاربردهای این توابع، قوانین رشد و زوال، رشد کراندار شامل خمِ یادگیری، و تابع چگالی احتمال نرمال استاندارد است. سه ‌بخش آخر این فصل به بقیهٔ توابع متعالی (غیر جبری) اختصاص دارند: تابعهای مثلثاتی وارون و تابعهای هیپربولیک.

فصل ۶ کاربردهای دیگری از انتگرال معین

در این‌فصل، کاربردهای انتگرال معین نه فقط تکنیکهای عملیاتی بلکه اصول بنیادی مربوط را نیز روشن و برجسته می‌سازند؛ طول کمان، که کاربردی هندسی است، در بخش ۶ـ۱ مطرح می‌شود. چهار بخش دیگر به کاربردهای فیزیکی، از جمله مرکز جرم میله‌ها و مقاطع مسطح، کار، و نیروی ناشی از فشار شاره‌ها اختصاص دارند. در هر کاربرد، تعریف اصطلاحات جدید با زمینه‌سازی شهودی کافی و توضیحات همراه است. همهٔ این بخشها با آوردن مثالهای حل شدهٰٔ اضافی بازنویسی شده‌اند و در بعضی از آنها از ماشین حساب رسّام برای تقریب‌زدن انتگرال معین استفاده می‌شود.

فصل ۷ فنون انتگرال‌گیری، صورتهای مبهم، و انتگرال ناسره

فنون انتگرال‌گیری جنبهٔ محاسباتی مهمی از حساب دیفرانسیل و انتگرال را تشکیل می‌دهند. این تکنیکها در پنج بخش اول، مختصرتر از ویراستهای قبل، تشریح شده‌اند. من زمینهٔ نظری هر یک از این روشهای متفاوت را پس از بیان مقدمات شهودی توضیح داده‌ام. تسلط بر فنون انتگرال‌گیری به حل مثالها وابسته است و من مسائلی را به‌عنوان نمونه آورده‌ام که دانشجو در عمل مسلماً با آنها روبه‌رو می‌شود. دو کاربرد دیگر انتگرال‌گیری در بخش۷ـ۴ معرفی می‌شوند: رشد لُژیستیک که در اقتصاد، زیست شناسی، و جامعه‌شناسی پیش می‌آید، و قانون کُنش جرم در شیمی. دو روش عددی برای تقریب زدن انتگرال معین در بخش۷ـ۶ ارائه شده‌اند. این دو روش به‌خاطر مناسب بودن آنها برای رایانه و ماشین‌حساب رسّام اهمیت دارند. مطالب مربوط به تقریب‌زدن انتگرال‌های معین شامل بیان قضایایی دربارهٔ کرانهای خطا در این تقریبهاست. چهار بخش باقیمانده، دربارهٔ صورتهای مبهم و انتگرال ناسره، در این ویراست تغییر مکان یافته‌اند و پیش از بحث سریهای نامتناهی آمده‌اند، که محل کاربرد بسیاری از این نتایج است. کاربردهای انتگرال ناسره شامل تابع چگالی احتمال و نیز کاربردهایی در هندسه و اقتصاد است.

فصل ۸ تقریب چندجمله‌ای، دنباله، و سری

مطالب مربوط به دنباله‌ها و سریها که در ویراستهای قبلی در دو فصل می‌آمد، در این ویراست فشرده‌شده و در یک فصل آمده است. این فصل شامل همهٔ مباحث قبلی هست، ولی بعضی از بحثها، بدون آنکه به انسجام مطلب لطمه‌ای بخورد، کوتاهتر شده‌اند. این فصل خودکفاست و هر زمان پس از مطالعهٔ هفت فصل نخست می‌توان آن را مطالعه کرد. بخش اول دربارهٔ تقریب چندجمله‌ای به‌وسیلهٔ فرمول تیلر است. این فرمول در بخش ۸ـ۹ به سری تیلر تعمیم داده می‌شود. بخشهای۸ـ۲ و ۸ـ۶ به دنباله‌ها و سریهای نامتناهی با جمله‌های ثابت اختصاص دارند و نیز در بخش۸ـ۶ خلاصه‌ای از آزمونهای همگرایی سری نامتناهی می‌آید. موضوع بخش‌های ۸ـ۷ تا ۸ـ۱۰، سری نامتناهی با جمله‌های متغیر، موسوم به سری توانی، است. در مباحث این فصل، استفاده از ماشین حساب رسّام نه تنها بررسیِ بهترِ موضوع را میسر می‌سازد بلکه به دانشجو امکان می‌دهد که همگرایی و واگرایی سریهای نامتناهی و تقریبهای چند جمله‌ای را امتحان و بررسی کند.

فصل ۹ معادلهٔ پارامتری، خم مسطح، و نمودار قطبی

این سه مبحث را در یک فصل آورده‌ایم و با این فصل بررسی حسابانِ یک متغیره کامل می‌شود. دو بخش نخست، دربارهٔ معادلات پارامتری و خمهای مسطح، پیشنیاز مطالعهٔ بردارها هستند. موضوع دو بخش بعد، نمودارهای قطبی است، و بخش آخر به بررسی یکپارچهٔ مقطعهای مخروطی و معادلات قطبی این مقطعها اختصاص دارد. بحث دربارهٔ مقطعهای مخروطی در مختصات قائم، که امروز معمولاً در درس پیش‌حسابان می‌آید، در این ویراست به پیوست انتقال یافته است.

فصل ۱۰ بردار، صفحه، خط، و رویه در فضا

برخلاف ویراستهای پیشین که در آنها بردار در صفحه و بردار در فضا جداگانه مورد بحث قرار می‌گرفتند، در این ویراست این دو موضوع در یک فصل بررسی می‌شوند. تعریف بردار در صفحه در بخش۱۰ـ۱ می‌آید. در بخش ۱۰ـ۲، پیش از تعریف بردار سه‌بعدی، فضای عددی سه‌بعدی، که با R^۳ نموده می‌‌شود، معرفی می‌گردد. این فصل همچنین شامل رهیافتی برداری به هندسهٔ تحلیلی فضایی است که در آن صفحه و خط در R^۳ در بخش ۱۰ـ۴ و رویه در بخش ۱۰ـ۶ بررسی می‌شود.

فصل ۱۱ تابع برداری‌مقدار

مانند بردارها در فصل ۱۰، توابع برداری‌مقدار در صفحه و در فضا یکجا در این فصل بررسی می‌شوند. خمهای مسطح و فضایی نیز که یا با یک تابع برداری‌مقدار و یا با مجموعه‌ای از معادله‌های پارامتری تعریف می‌شوند، و همچنین ویژگیهای آنها یکجا مورد بحث قرار می‌گیرند، کاربردهای این موضوع در هندسه، فیزیک، و مهندسی مطرح می‌شوند. در بخش ۱۱ـ۵ که دربارهٔ حرکت خمیدهٔ خط است، از ماشین‌حساب رسّام برای شبیه‌سازی حرکت یک پرتابه در صفحه استفاده می‌شود.

فصل ۱۲ حساب دیفرانسیلِ تابعهایِ با بیش از یک متغیر

مباحث این فصل، کوتاه شدهٔ مباحث دو فصل در ویراستهای پیشین هستند ولی انسجام ریاضی مطلب در این کوتاه‌سازی قربانی نشده است. حد، پیوستگی، مشتقهای جزئی، مشتق‌پذیری، و قاعدهٔ زنجیری برای تابعهایِ با بیش از یک متغیر در پنج بخش نخست مورد بحث قرار می‌گیرند. از جمله کاربردهای مطرح‌شده در این بخشها، یافتن آهنگ تغییر و محاسبهٔ تقریب است. به‌دنبال بخش ۱۲ـ۶ که دربارهٔ مشتقهای سویی (جهتی) و گرادیان است، بخشی می‌آید که کاربرد گرادیان را در پیدا کردن صفحات مماس و قائمهای رویه‌ها نشان می‌دهد. کاربردهای دیگری از مشتق سویی که در دو بخش آخر ظاهر می‌شوند عبارت‌اند از حل مسائل فرینه و ضرایب لاگرانژ.

فصل ۱۳ انتگرال‌گیری چندگانه

حساب انتگرال تابعهایِ با بیش از یک متغیر در بخشهای۱۳ـ۲ تا ۱۳ـ۶ بعد از بخشی می‌آید که دربارهٔ مختصات استوانه‌ای و کروی است و در این ویراست تغییر مکان یافته است تا به کاربردهایش در بخشهای بعد نزدیکتر باشد. انتگرال دوگانهٔ توابع دومتغیره در بخش۱۳ـ۲ معرفی می‌شود و در دو بخش بعد کاربردهایی از آن در فیزیک، مهندسی، و هندسه می‌آید. موضوع دو بخش باقیماندهٔ این فصل، انتگرال سه‌گانهٔ توابع دومتغیره و بعضی از کاربردهای آن است.

فصل ۱۴ آشنایی با حسابانِ میدانهای برداری

بحث مبسوطی دربارهٔ حسابان برداری در شش بخشِ این فصل آخر می‌آید. این بحث شامل میدانهای برداری، انتگرال خمیدهٔ خطی، قضیهٔ گرین، قضیهٔ دیورژانس گاوس، و قضیهٔ استوکس است. رهیافت این فصل شهودی است و کاربردهای مطرح شده در آن به فیزیک و مهندسی اختصاص دارند.

پیوست

مباحثی که در جبر، مثلثات، و هندسهٔ تحلیلی که معمولاً در درس پیش‌حسابان مطرح می‌شوند، در این ویراست در یک پیوست آمده‌اند تا قسمت اصلی متن اختصاص به مباحثی یابد که دقیقاً به حساب دیفرانسیل و انتگرال تعلق دارند. به همین دلیل، عبارتِ و هندسهٔ تحلیلی را از عنوان کتاب حذف کرده‌ایم. بسته به میزان آمادگی دانشجویان در هر کلاس اص، بخشهای پیوست را می‌توان به تفصیل مطرح کرد، یا فقط مرور کرد، و یا به‌کلی کنار گذاشت.

بخشهای تکمیلی

بخشهای تکمیلی به‌دنبال پیوست می‌آیند؛ این بخشها مطالبی را دربر می‌گیرند. که می‌توان به آنها پرداخت یا آنها را کنار گذاشت بدون آنکه در فهم مطالب بعدی متن اشکالی پیش می‌آید. این بخشها که شماره‌گذاری آنها مطابق با بخشهای متناظر در قسمت اصلی متن است، شامل بحثهای نظری و برخی از اثباتهایی هستند که مشکل به حساب می‌آیند.

لوئیس لیتهلد